Algebra booleană. Partea 1. Un pic de istorie

La școală, toți am studiat algebra, dar ei nu au vorbit despre algebra booleană acolo. Care este diferența dintre algebra booleană și algebra școlară, istoricul aspectului, problemele și aplicațiile sale sunt descrise în acest articol.

Circuitul care permite două comutatoare să aprindă lumina din coridor la intrarea în coridor și să o oprească la intrarea în cameră este cunoscut de foarte mult timp (vezi. Circuitul de control al iluminării coridorului). Este prezentat în figura 1.

Numărul sarcinii 1. Mai complicat. Creați o diagramă care vă permite să porniți și să stingeți lumina din camera dvs. cu oricare dintre cele 3 întrerupătoare diferite. Întrerupătoarele sunt situate la intrarea în cameră, deasupra patului și la birou.

Numărul sarcinii 2.

Într-un comitet de sport, cum ar fi un comitet de fabrică, s-au adunat 5 judecători.

Fiecare dintre ei trebuie să voteze pentru decizii diferite. Decizia este adoptată cu majoritatea voturilor, dar numai în condițiile în care președintele comisiei votează pentru aceasta.

Judecătorii votează apăsând butonul care închide întrerupătorul situat sub masa la care stau. Închizând comutatorul, ei votează în favoarea, deconectând contra. Desenați o diagramă simplă care vă permite să vedeți automat rezultatele votării. În cel mai simplu caz, pur și simplu cu ajutorul unui bec - luminat - decizia a fost luată, nu s-a aprins - nu.

Numărul sarcinii 3. În practică, acest lucru este puțin probabil, dar întrucât o sarcină educativă complexă este destul de potrivită.

Într-o cameră mare hexagonală, pe fiecare perete este instalat un întrerupător. Construiți un circuit pentru a putea oricând să porniți sau să stingeți lumina din cameră, apăsând un (orice) întrerupător.

După ce stai fără succes peste sarcini timp de trei-patru zile, pune-le deoparte temporar. Și să fii ocupat Algebra booleană. Este algebra booleană sau, cum se mai numește, Algebra booleană, algebra circuitului releului, vă va ajuta să vă rezolvați problemele.

Ce este algebra booleană?

Ciudat, în ciuda faptului că timp de cinci ani studiază algebra la școală, mulți elevi și, ulterior, adulți, nu vor putea răspunde la întrebare, ce este algebra? Algebra este o știință care studiază seturile unor elemente și acțiunile asupra lor.

La un curs școlar în algebră, astfel de elemente sunt numere. Numerele pot fi notate nu prin numere, ci prin litere, toată lumea este familiarizată cu acest lucru. În primele lecții de algebră, acest lucru întotdeauna îngreunează mulți studenți. Amintiți-vă cât de dificil a fost la început să te obișnuiești să adaugi litere în loc de numere, rezolvând ecuații care nu spun nimic.

Probabil, fiecare dintre noi ne-a pus apoi întrebarea: „De ce trebuie să introducem litere în loc de numere și este absolut necesar?” Și abia mai târziu ați văzut ce avantaje oferă algebra atunci când rezolvați problemele în comparație cu aritmetica.

Algebra este folosită în multe științe exacte. Este vorba despre fizică, mecanică, sopromat, electricitate. Legea lui Ohm nu este altceva decât o ecuație algebrică: este suficient să înlocuim valorile lor numerice în loc de litere pentru a afla ce curent va curge în sarcină sau ce rezistență are o secțiune a circuitului.

Deci ai făcut cunoștință cu algebra numerelor sau cu algebra elementară. Sarcina principală și aproape unică este de a obține un răspuns la întrebarea: „Cu ce ​​este egal X? Cât de mult? ”

În liceu, studiază începuturile algebrei vectoriale. Această algebră este fundamental diferită de algebra elementară. Are o natură diferită a setului studiat și a altor reguli de acțiune. Rezolvând ecuația vectorială, obținem în răspuns un vector care nu este un număr obișnuit care răspunde la întrebarea „Cât de mult?”

Formulele algebrei vectoriale sunt, în multe privințe, diferite de formulele algebrei elementare. De exemplu, în algebra elementară și în algebra vectorială există o operație de adăugare. Dar este efectuat în moduri complet diferite.Adăugarea numerelor nu este deloc aceeași cu adăugarea vectorilor.

Există și alte algebre: algebra liniară, algebra structurilor, algebra inelelor, algebra logicii sau, ceea ce este același, algebra booleană. Probabil că nu ai auzit numele în lecțiile școlii. George Boole - dar toată lumea știe numele uneia dintre fiicele sale talentate Ethel Voinich (1864 - 1960). Ea a scris romanul „Gadfly”, care vorbește despre lupta pentru drepturile carbonarienilor italieni.

George Bull s-a născut în Anglia la 2 noiembrie 1815. Toată viața a lucrat ca profesor de matematică și fizică la școală. Din memoriile studenților săi se știe ce importanță deosebită îi acordă Bul pe dezvoltarea abilităților creative ale elevilor. În introducerea materialelor noi, el a căutat să se asigure că elevii săi „au redescoperit” anumite formule și legi.

Spunând elevilor despre dificultățile cu care oamenii de știință se confruntă inevitabil în căutarea adevărului, profesorului i-a plăcut să repete o înțelepciune estică: nici măcar tronul persan nu poate aduce atât de multă plăcere unei persoane, cât cea mai mică descoperire științifică. Buhl nu a pierdut niciodată speranța că într-o zi studenții săi vor face o adevărată descoperire.

Gama de interese științifice a lui Buhl era foarte largă: era la fel de interesat de matematică și logică - știința legilor și a formelor de gândire. În acele zile, logica era considerată o știință a științelor umaniste și mulți care îl cunoșteau pe George Boole au fost uimiți de modul în care metodele exacte ale cunoașterii inerente matematicii și metodele pur descriptive ale logicii ar putea coexista într-o singură persoană.

Dar omul de știință a dorit să facă știința legilor și a formelor de gândire la fel de riguroase ca oricare dintre științele naturii, spun matematică și fizică. Pentru aceasta, Boule a început să denumească nu numere ca litere, așa cum se face în algebră obișnuită, ci enunțuri și a arătat că astfel de ecuații, foarte asemănătoare cu cele algebrice, pot rezolva întrebări despre adevărul și falsitatea afirmațiilor făcute de om. Astfel a apărut algebra booleană.

Cu mult înainte de George Buhl, matematicianul și filozoful german Gottfried Leibniz (1646-1716) a venit mai întâi cu ideea creării unei științe care să desemneze toate conceptele discursului colocvial obișnuit cu simboluri și să stabilească o nouă algebră pentru combinarea acestor simboluri.

După crearea unei astfel de științe, potrivit lui Leibniz, oamenii de știință și filozofii vor înceta să se certe și să strige unul pe celălalt, să afle adevărul, dar vor ridica un creion și vor spune cu calm: „Hai să calculăm!”

Astăzi, algebra logicii a devenit o parte importantă a matematicii. Una dintre sarcinile sale este de a rezolva tot felul de ecuații, ale căror raporturi numerice sunt înlocuite de cele alfabetice. Fiecare dintre voi, probabil, de-a lungul vieții și-a amintit cum să rezolvați ecuațiile de gradul al doilea și al treilea cu ajutorul coeficienților de litere. Deci, Boole în noua sa algebră a folosit toate aceste formule și reguli.

Ceea ce este nou în algebra booleană este că elementele mulțimii care sunt studiate în ea nu sunt numere, ci enunțuri. Dacă, atunci când se rezolvă ecuațiile algebrice obișnuite, se stabilește ce număr este egal cu X necunoscut, algebra școlară caută răspunsul la întrebarea: „Cât de mult?”

Algebra logicii caută răspunsul la întrebarea: „Această afirmație sau această notă este notată de litera X adevărată?”

Sensul și conținutul enunțului nu joacă niciun rol aici. Fiecare afirmație nu poate fi decât adevărată sau falsă. Nu poate fi pe jumătate adevărat și pe jumătate fals. Ca exemplu, ne putem aminti să aruncăm o mulțime de monede.

Doar două state monede sunt considerate acolo - capete sau cozi. Prin acordul părților, vulturul este DA, iar cozile sunt NU. În teoria probabilităților nu sunt luate în considerare alte puncte intermediare, deși acestea sunt posibile. O monedă rabatabilă poate cădea pe o margine, se poate rostogoli pe podea până la picioarele unui scaun sau a unei mese și poate rămâne într-o poziție verticală, sau chiar poate cădea într-un gol mare în podea. (Prin analogie cu circuitele electrice, ultimele două situații pot fi considerate o defecțiune sub forma unui contact ars).Dar în acele zile, algebra booleană, din păcate, nu a fost folosită pe scară largă.

Claude Shannon a „descoperit” din nou algebra Buhl. În 1938, în timp ce era încă student la Institutul de Tehnologie și America din Massachusetts, tânărul Claude a dovedit că algebra booleană este complet potrivită pentru analiza și sinteza circuitelor de releu și comutare.

Cu ajutorul algebrei booleane, este foarte ușor să faceți un circuit electric al unui automat care funcționează pe un releu.Pentru aceasta, se dovedește, trebuie doar să știți exact ce ar trebui să facă mașina, adică trebuie să aveți un algoritm pentru funcționarea sa. Așadar, s-a pus bazele teoriei mașinilor digitale care operează pe principiul DA sau NU.

Aceasta este, pe scurt, istoria algebrei booleane. În articolele următoare vom lua în considerare legile sale de bază, exemple de circuite de contact care implementează aceste legi. Luați în considerare soluția acelor sarcini care au fost date la începutul articolului.

Continuarea articolului: Algebra booleană. Partea 2. Legile și funcțiile de bază

Boris Aladyshkin