Kategori: Artikel Pilihan » Novice juruelektrik
Bilangan pandangan: 92355
Komen pada artikel: 1

Algebra Boolean. Bahagian 2. Undang-undang asas dan fungsi

 


Algebra Boolean. Bahagian 2. Undang-undang asas dan fungsiPenerusan cerita mengenai aljabar Boolean, konvensyen, peraturan, operasi. Peralihan kepada asas-asas litar kenalan.

In artikel pertama George Bull digambarkan sebagai pencipta aljabar logik. Artikel kedua akan menggambarkan operasi asas aljabar Boolean, dan kaedah untuk memudahkan ungkapan Boolean. Oleh itu, algebra Boolean menggunakan pernyataan sebagai argumen, dan bukan maknanya, tetapi kebenaran atau kepalsuan pernyataan.


Bentuk untuk menulis ungkapan dalam algebra Boolean.

Sekiranya pernyataan itu benar, maka ia ditulis seperti ini: A = 1, jika salah, maka A = 0 (selepas itu, tidak benar bahawa kentang adalah buah). Untuk mana-mana pernyataan, A sama ada benar (A = 1) atau palsu (A = 0). Tidak ada pertengahan di sini. Kami telah membincangkan perkara ini.

Jika anda menyambung dua penyataan ringkas dengan kesatuan Dan, anda mendapat pernyataan yang kompleks, yang dipanggil produk logik. Mari kita ambil dua pernyataan mudah: "Tiga lebih dari dua" kita akan menetapkan huruf A, "Tiga kurang dari lima" - dengan huruf B.

Oleh itu, pernyataan yang rumit "Tiga adalah lebih daripada dua Dan kurang daripada lima" adalah satu logik (dalam kes ini, huruf besar Dan, mengatakan bahawa ini adalah operasi logikal "DAN" dan kemudian dalam teks "ATAU" dan "BUKAN.") dan B. Ia ditetapkan seperti berikut: A ^ B atau A * B.


Pendaraban logik (operasi "DAN").

Dalam aljabar asas A * A = A2. Tetapi dalam algebra Buhl A * A = A2 = A, A * A = A, sejak tanda pendaraban (*) sekarang bermaksud ... Dan ... dalam arti Dan ... Dan. Semua pengalaman kami mengesahkan bahawa A & A adalah sama dengan A. sahaja. Tidak boleh bersetuju dengan ini. Kebenaran kenyataan itu tidak berubah jika ia diulangi oleh faktor beberapa kali.

Produk dua kenyataan dianggap benar (bersamaan dengan 1), maka, dan hanya jika kedua-dua faktor adalah benar, dan salah (sama dengan 0) jika sekurang-kurangnya salah satu faktor adalah palsu. Setuju bahawa peraturan ini tidak bercanggah dengan akal sehat, dan, sebagai tambahan, mereka mematuhi sepenuhnya peraturan algebra asas:

1*1 = 1, 1*0 = 0 = 0*1 = 0, 0*0 = 0.

Persamaan pertama berbunyi seperti berikut: jika kedua-dua A dan B adalah benar, maka produk A * B adalah benar. Di Algebra Buhl, tanda pendaraban (*) menggantikan kesatuan saya.

Produk logik mungkin termasuk tidak dua, tetapi sebilangan besar kenyataan - faktor. Dan dalam kes ini, produk itu adalah benar hanya apabila pada masa yang sama semua kenyataan-faktor benar.


Tambahan logik (operasi ATAU)

Jika dua kenyataan dihubungkan oleh kesatuan ATAU. yang membentuk kalimat majmuk dipanggil jumlah logik.

Pertimbangkan contoh jumlah logik. Mengatakan A: "Hari ini saya akan pergi ke pawagam."

Penyata B: "Hari ini saya akan pergi ke disko." Kami menambah kedua-dua kenyataan dan mendapatkan: "Hari ini saya akan pergi ke filem ATAU ke disko."

Kenyataan kompleks ini ditunjukkan seperti berikut: A + B = C atau (A V B) = C.

Oleh C kita menandakan satu pernyataan rumit mengenai jumlah logik.

Dalam contoh yang dipertimbangkan, kesatuan ATAU tidak boleh digunakan dalam erti kata yang eksklusif. Malah, pada hari yang sama anda boleh sampai ke pawagam dan ke disko. Dan inilah pepatah:

"Pengerusi perkebunan berkebun itu akan menjadi Petrov atau Ivanov," bukan jumlah yang logik, kerana hanya satu orang yang akan menjadi pengerusi, dan yang lainnya akan menjadi tukang kebun biasa amatir.

Tanda V untuk jumlah logik dipilih kerana ia adalah huruf awal perkataan Latin "vel", yang bermaksud "atau", bertentangan dengan perkataan Latin "aut>, yang bermaksud" dan ". Sekarang ia harus jelas kepada semua orang mengapa produk logiknya ditunjukkan oleh tanda ^.

Dalam algebra asas ada peraturan A + A = 2A. Peraturan ini adalah benar, tidak kira berapa angka yang diwakili oleh huruf A. Dalam algebra Boolean, peraturan A + A = A sepadan dengannya. Pengalaman sepanjang hidup kita mengatakan bahawa untuk mengatakan ATAU A atau kedua-dua A hanya satu lagi dan cara yang lebih panjang untuk mengatakan hanya A.

Seperti mana-mana pernyataan kompaun, jumlah dua kenyataan A dan B boleh benar atau palsu. Jumlahnya dianggap benar, iaitu, sama dengan perpaduan, jika sekurang-kurangnya salah satu istilah adalah benar:

A + B = 1 jika OR A = 1 OR B = 1, yang konsisten dengan aritmetik konvensional:

1+0 = 0+1 = 1.

Sekiranya kedua-dua kenyataan bersamaan adalah benar, maka jumlah itu juga dianggap benar, oleh itu, dalam algebra Boolean kita mempunyai: (1) + (1) = 1.

Tanda kurung ditetapkan di sini untuk menekankan bersyarat, makna penambahan ini, dan bukannya aritmetik.

Jumlah dua pernyataan dianggap salah dan sama dengan sifar jika, tetapi hanya jika kedua-dua istilah adalah palsu. Dari sini:

0 + 0=0.

Oleh itu, jumlah dua kenyataan A + B dianggap benar jika benar, ATAU A, ATAU B, ATAU kedua-dua terma bersama. Oleh itu, perkataan ATA dilambangkan oleh +.

Mengingati bahawa kenyataan A dan B hanya boleh benar atau palsu dan, dengan itu, mempunyai ukuran kebenaran 1 atau 0, keputusan operasi yang dianggap AND dan ATA dapat diringkaskan dalam jadual 1 dan 2.

Algebra Boolean. Bahagian 2. Undang-undang asas dan fungsi
Algebra Boolean. Bahagian 2. Undang-undang asas dan fungsi

Operasi ketiga, yang digunakan secara meluas oleh algebra Buhl, adalah operasi negasi - TIDAK. Kami mengingatkan anda bahawa algebra asas menggunakan operasi ADD, D Kurangkan, Multiply oleh, Dibahagikan, dan beberapa yang lain.

Bagi setiap pernyataan A, terdapat penafsirannya TIDAK A, yang akan kami nyatakan oleh simbol / A. Ini tidak boleh diragui.

Kami memberi contoh: "Kami akan pergi ke hutan" A, "Kami tidak akan pergi ke hutan" / A.

Sekiranya pernyataan A adalah benar, iaitu A = 1, maka penafsirannya / A mestilah palsu / A = 0. Dan sebaliknya, jika mana-mana pernyataan palsu, maka penolakannya adalah benar. Sebagai contoh: "Kuda tidak makan jerami" / A = 0, "Kuda tidak makan jerami" (A = 1). Ini boleh dinyatakan dalam jadual 3.

Algebra Boolean. Bahagian 2. Undang-undang asas dan fungsi

Menentukan maksud tindakan penolakan, dan mengandaikan bahawa kedua-dua penyataan A dan / A sentiasa satu benar, dua formula baru algebra Boolean mengikuti:

A + (/ A) = 1 dan A * (/ A) = 0.

Terdapat juga formula lain yang memudahkan penyataan pernyataan logik. Sebagai contoh, 1 + A = 1, kerana, mengikut takrif penambahan, dalam kes apabila satu istilah adalah sama dengan perpaduan, jumlahnya selalu sama dengan perpaduan. Hasil yang diperoleh tidak bergantung kepada sama ada A = 0 atau A = 1.

Setiap satu daripada tiga operasi logik yang kita periksa (DAN, ATAU, TIDAK) mempunyai sifat tertentu yang hampir dengan peraturan algebra asas. Jika semuanya dirumuskan, maka kita akan mendapat 25 peraturan algebra Boolean. Mereka agak mencukupi untuk menyelesaikan hampir sebarang masalah logik. Tanpa peraturan ini, ia menjadi agak sukar untuk menyelesaikan masalah logik kerana kerumitannya yang jelas. Mencuba mencari jawapan yang tepat tanpa menggunakan peraturan bermakna menggantikannya dengan kebijaksanaan dan penalaran umum. Peraturan sangat memudahkan kerja ini dan menjimatkan masa.

Dalam rangka artikel itu, mustahil untuk mempertimbangkan semua 25 peraturan ini, tetapi mereka yang ingin selalu dapat menemukannya dalam literatur yang relevan.

Seperti yang telah disebutkan dalam artikel pertama pada tahun 1938, ahli sains muda Amerika Claude Shannon dalam artikelnya "Analisis Simbolik Relay dan Sirkuit Penukaran" untuk kali pertama menggunakan algebra Boolean untuk masalah teknologi geganti. Penemuan Shannon adalah bahawa dia menyedari bahawa kaedah merancang mesin relay dan komputer elektronik sebenarnya adalah cabang logik matematik.

Ia sering berlaku. Selama bertahun-tahun, saintis telah mengusahakan masalah yang nampaknya tidak diperlukan untuk rakan senegara - hanya seronok. Tetapi beberapa dekad dan kadang-kadang berabad-abad berlalu, dan teori yang tidak ada keperluan tidak hanya memperoleh hak untuk wujud, tetapi tanpa kemajuan selanjutnya menjadi tidak dapat difikirkan.

Apa yang membantu Shannon kali kedua "menemui" algebra Boolean? Kes? Tiada apa-apa jenisnya.

Kasih mesin geganti, yang dibina di atas suis dan geganti konvensional, membantu saintis muda untuk menyambungkan teori yang dilupakan dengan tugas-tugas pertukaran telefon automatik, di mana dia bekerja pada masa itu. Kemudian, Shannon memperkenalkan idea yang sama "ya atau tidak" ke dalam mesej-mesej diskret dan meletakkan asas untuk seluruh sekumpulan cybernetics - teori maklumat.

Algebra Buhl sangat sesuai untuk analisis dan sintesis litar relay. Ia sudah cukup untuk diterima sebagai pernyataan yang benar: "Terdapat isyarat dalam litar", dan sebagai yang salah - "Tiada isyarat dalam litar", sebagai algebra baru muncul - algebra isyarat, litar algebra litar.

Algebra baru hanya sah untuk pertimbangan litar relay dan switching. Lagipun, hanya dalam skim sedemikian adalah keadaan "terdapat isyarat" dan "tidak ada isyarat" yang dipenuhi. Di mana isyarat berubah secara berterusan, memperoleh sebilangan besar keadaan perantaraan (seperti isyarat disebut analog), algebra relay tidak boleh digunakan. Ini mesti sentiasa diingati. Tetapi sebahagian besar komputer elektronik dan mesin siber menggunakan prinsip diskrit pemprosesan isyarat, yang berdasarkan elemen "ya - tidak".

Ungkapan "Sentuh hubungan" diterima oleh Shannon sebagai benar (1), dan "Hubungi terbuka" sebagai palsu (0). Selebihnya "algebra", termasuk operasi DAN, ATAU dan TIDAK dan 25 peraturan, Shannon dipinjam dari Boole.

Algebra litar relay ternyata lebih mudah daripada algebra Boolean, kerana ia hanya berkaitan dengan unsur-unsur jenis "yes-no". Di samping itu, aljabar baru lebih visual.

Unsur-unsur dalam aljabar ini adalah kenalan, yang akan kita tunjukkan dengan huruf A, B, C ... Kontak ditutup - A, kenalan terbuka - / A (huruf dengan tanda sampah).

Notasi, seperti yang anda lihat, diambil sepenuhnya daripada algebra Boolean. Hubungan terbuka adalah penafian kenalan tertutup. Kenalan yang sama tidak boleh ditutup dan terbuka.

Kami bersetuju bahawa jika dalam litar mana-mana dua kenalan dilambangkan dengan huruf yang sama, maka ini bermakna bahawa mereka selalu mengambil nilai yang sama.

Pada satu ketika, kedua-duanya terbuka pada masa yang sama, atau keduanya ditutup. Cara termudah untuk membayangkan mereka disambung secara mekanikal bersama-sama supaya kedua-dua mereka secara bersamaan membuka atau menutup.

Jika dalam sesetengah rantai kenalan adalah penafian kenalan lain, maka makna mereka selalu bertentangan. Contohnya, kenalan C dan / C tidak boleh dibuka secara serentak atau ditutup secara serentak. Dan dalam rajah mereka boleh diwakili secara mekanikal: jika salah satu daripadanya terbuka, maka yang lain akan ditutup.

Kami memulakan kenalan kami dengan algebra relay dengan menganalisis litar mudah yang bersamaan dengan operasi AND, ATAU, dan TIDAK.

Produk dua kenalan (operasi DAN) adalah litar yang diperoleh hasil daripada sambungan siri mereka: ia ditutup (sama dengan 1) hanya apabila kedua-dua kenalan ditutup (bersamaan dengan 1).

Jumlah dua kenalan (operasi ATAU) akan menjadi litar yang terbentuk apabila ia disambung secara selari: ia ditutup (sama dengan 1) apabila sekurang-kurangnya salah satu kenalan yang membentuk litar ditutup (sama dengan 1).

Sebaliknya dari hubungan ini (operasi TIDAK) adalah kenalan sama dengan 0 (terbuka) jika hubungan ini adalah 1 (tertutup), dan sebaliknya.

Seperti dalam algebra Boolean, jika kenalan dilambangkan dengan huruf A dan B, maka kita akan menandakan produk dua kenalan oleh A * B, jumlahnya dengan A + B, dan hubungan bertentangan A, dengan / A. Di atas dijelaskan di Rajah 1, 2, dan 3.

Algebra Boolean. Bahagian 2. Undang-undang asas dan fungsi
Algebra Boolean. Bahagian 2. Undang-undang asas dan fungsi

Kesahan jadual yang berkaitan dengan operasi AND, ATAU dan TIDAK. sekarang tiada siapa yang harus ragu-ragu.

Marilah kita berpegang pada dua contoh: 1 * 0 = 0 dan 1 + 0 = 1.

Ia dapat dilihat dari angka bahawa hubungan tertutup yang terhubung secara bersambung dengan hubungan yang sentiasa terbuka bersamaan dengan hubungan secara kekal terbuka (1 * 0 = 0) Satu perhubungan tertutup secara tetap yang disambung selari dengan hubungan yang sentiasa terbuka bersamaan dengan sentuhan yang ditutup secara kekal.

Setelah mengenali aritmetik litar kenalan, anda boleh menerangkan sebarang litar relay dengan formula menggunakan konvensyen yang diterima. Dalam cybernetics, formula tersebut dipanggil struktur.

Sekiranya formula struktur mana-mana litar relay ialah 1, maka isyarat boleh melaluinya - litar ditutup. Sebaliknya, jika formula struktur litar adalah 0, isyarat tidak akan melaluinya - litar dipecahkan.Kesimpulan: dua litar relay bersamaan antara satu sama lain apabila formula strukturnya sama.

Dalam penerusan artikel ini, kita akan mempertimbangkan contoh-contoh litar kenalan, litar hubungan tipikal dan kesetaraan mereka, serta membuat gambar rajah mengikut formula struktur. Kami juga menganggap litar logik utama yang melaksanakan fungsi algebra Boolean.

Penerusan artikel: Algebra Boolean. Bahagian 3. Skim hubungan

Boris Aladyshkin

Lihat juga di i.electricianexp.com:

  • Algebra Boolean. Bahagian 1. Sedikit sejarah
  • Algebra Boolean. Bahagian 3. Skim hubungan
  • Cip logik. Bahagian 2 - Gates
  • Bahasa LD Ladder dan Aplikasinya
  • Cip logik. Bahagian 1

  •  
     
    Komen:

    # 1 menulis: Alex | [quote]

     
     

    Terima kasih

    Hanya satu perkara, perenggan:

    "Seperti dalam algebra Boolean, jika kenalan dilambangkan dengan huruf A dan B, maka kita akan menandakan produk dua kenalan oleh A * B, jumlahnya dengan A + B, dan hubungan bertentangan A, dengan / A. Perkara di atas dijelaskan dalam Rajah 1, 2, dan 3 ..."

    Di manakah angka 3?