Κατηγορίες: Προτεινόμενα άρθρα » Αρχάριοι ηλεκτρολόγοι
Αριθμός προβολών: 92355
Σχόλια σχετικά με το άρθρο: 1

Boolean άλγεβρα. Μέρος 2. Βασικοί νόμοι και λειτουργίες

 


Boolean άλγεβρα. Μέρος 2. Βασικοί νόμοι και λειτουργίεςΣυνέχιση της ιστορίας για την αλγεβρα Boolean, συμβάσεις, κανόνες, λειτουργίες. Μετάβαση στα βασικά των κυκλωμάτων επαφής.

Στο πρώτο άρθρο Ο George Bull περιγράφηκε ως ο δημιουργός της άλγεβρας της λογικής. Το δεύτερο άρθρο περιγράφει τις βασικές λειτουργίες της αλγεβρα Boolean και μεθόδους για την απλοποίηση των εκφράσεων Boolean. Έτσι, η Boolean άλγεβρα χρησιμοποιεί τις δηλώσεις ως επιχειρήματα και όχι την έννοια τους, αλλά την αλήθεια ή την ψευδαίσθηση της δήλωσης.


Το έντυπο για την εγγραφή εκφράσεων σε Boolean άλγεβρα.

Εάν η δήλωση είναι αληθής, τότε γράφεται ως εξής: A = 1, αν είναι ψευδής, τότε A = 0 (τελικά, δεν είναι αλήθεια ότι η πατάτα είναι καρπός). Για οποιαδήποτε δήλωση, το Α είναι είτε αληθές (A = 1) είτε ψευδές (A = 0). Δεν μπορεί να υπάρξει μέση εδώ. Έχουμε ήδη μιλήσει γι 'αυτό.

Εάν συνδέσετε δύο απλές δηλώσεις με την ένωση Και, παίρνετε μια περίπλοκη δήλωση, η οποία ονομάζεται λογικό προϊόν. Ας πάρουμε δύο απλά λόγια: "Τρία είναι περισσότερα από δύο" θα ορίσουμε με το γράμμα Α, "Τρία λιγότερο από πέντε" - με το γράμμα Β.

Έτσι, η περίπλοκη δήλωση "Τρεις είναι περισσότεροι από δύο και λιγότεροι από πέντε" είναι λογικός (στην περίπτωση αυτή το κεφαλαίο γράμμα Και λέει ότι πρόκειται για λογική λειτουργία "ΚΑΙ", καθώς και αργότερα στο κείμενο "Ή" και "ΟΧΙ"). και Β. Χαρακτηρίζεται ως εξής: Α ^ Β ή Α * Β.


Λογικός πολλαπλασιασμός (λειτουργία "AND").

Στη στοιχειώδη άλγεβρα A * A = A2. Αλλά στην άλγεβρα του Buhl A * A = A2 = A, A * A = A, αφού το σύμβολο πολλαπλασιασμού (*) σημαίνει τώρα ... Και ... με την έννοια Και ... Και. Όλη η εμπειρία μας επιβεβαιώνει ότι η Α & Α είναι η ίδια με την Α. Δεν μπορεί κανείς να διαφωνήσει με αυτό. Η αλήθεια της δήλωσης δεν αλλάζει αν επαναληφθεί από τον παράγοντα αρκετές φορές.

Το αποτέλεσμα δύο δηλώσεων θεωρείται αληθές (ίσο με 1), και μόνο και αν και οι δύο παράγοντες είναι αληθινοί και ψευδείς (ίσοι με 0) αν τουλάχιστον ένας από τους παράγοντες είναι ψευδής. Συμφωνείτε ότι οι κανόνες αυτοί δεν έρχονται σε αντίθεση με την κοινή λογική και, επιπλέον, συμμορφώνονται πλήρως με τους κανόνες της στοιχειώδους άλγεβρας:

1*1 = 1, 1*0 = 0 = 0*1 = 0, 0*0 = 0.

Η πρώτη ισότητα έχει ως εξής: αν και τα δύο A και B είναι αληθή, τότε το προϊόν A * B είναι αληθές. Στην αλγεβρα Buhl, το σύμβολο πολλαπλασιασμού (*) αντικαθιστά την ένωση Ι.

Τα λογικά προϊόντα μπορεί να περιλαμβάνουν όχι δύο, αλλά έναν μεγαλύτερο αριθμό δηλώσεων - παραγόντων. Και σε αυτή την περίπτωση, το προϊόν είναι αληθές μόνο όταν ταυτόχρονα όλες οι δηλώσεις-παράγοντες είναι αληθινές.


Λογική προσθήκη (λειτουργία OR)

Εάν δύο δηλώσεις συνδέονται με μια ένωση OR. που σχηματίζεται σύνθετη πρόταση ονομάζεται λογικό άθροισμα.

Εξετάστε ένα παράδειγμα ενός λογικού ποσού. Λέγοντας Α: "Σήμερα θα πάω στον κινηματογράφο."

Δήλωση Β: "Σήμερα θα πάω στη ντίσκο". Προσθέτουμε τις δύο δηλώσεις και παίρνουμε: "Σήμερα θα πάω στις ταινίες Ή σε μια ντίσκο."

Αυτή η πολύπλοκη δήλωση υποδηλώνεται ως εξής: A + B = C ή (A V B) = C.

Από το C υποδείξαμε μια πολύπλοκη δήλωση ενός λογικού ποσού.

Στο υπό εξέταση παράδειγμα, η ένωση OR δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί με αποκλειστική έννοια. Πράγματι, την ίδια μέρα μπορείτε να φτάσετε στον κινηματογράφο και στη ντίσκο. Και εδώ είναι το ρητό:

«Ο πρόεδρος της συνεργασίας στον τομέα της κηπουρικής θα είναι ο Petrov ή ο Ivanov», δεν είναι ένα λογικό ποσό, γιατί μόνο ένας άνθρωπος θα είναι ο πρόεδρος και ο άλλος θα είναι ένας ερασιτέχνης τακτικός κηπουρός.

Το σύμβολο V για το λογικό άθροισμα επιλέγεται επειδή είναι το αρχικό γράμμα της λατινικής λέξης "vel", που σημαίνει "ή", σε αντίθεση με τη λατινική λέξη "aut", που σημαίνει "και". Τώρα πρέπει να είναι σαφές σε όλους γιατί το λογικό προϊόν υποδεικνύεται από το σύμβολο ^.

Στην στοιχειώδη άλγεβρα υπάρχει ένας κανόνας Α + Α = 2Α. Αυτός ο κανόνας είναι αληθής, ανεξάρτητα από τον αριθμό που αντιπροσωπεύει το γράμμα A. Στην Boolean άλγεβρα, ο κανόνας A + A = A αντιστοιχεί σε αυτό. Η όλη μας εμπειρία ζωής λέει ότι για να πούμε A OR A ή και οι δύο A είναι απλώς ένας άλλος και πιο μακρύς τρόπος για να πούμε μόνο Α.

Όπως και κάθε σύνθετη δήλωση, το άθροισμα των δύο δηλώσεων Α και Β μπορεί να είναι αληθές ή ψευδές. Το άθροισμα θεωρείται αληθές, δηλαδή, ίσο με την ενότητα, εάν ισχύει τουλάχιστον ένας από τους όρους:

A + B = 1 εάν OR A = 1 ή B = 1, η οποία είναι σύμφωνη με τη συμβατική αριθμητική:

1+0 = 0+1 = 1.

Αν και οι δύο αθροισμένες δηλώσεις είναι αληθείς, τότε το άθροισμα θεωρείται επίσης αληθές, συνεπώς, στην Boolean άλγεβρα έχουμε: (1) + (1) = 1.

Οι βραχίονες τίθενται εδώ για να τονισθεί η υπό όρους, η έννοια αυτής της προσθήκης και όχι η αριθμητική.

Το άθροισμα των δύο δηλώσεων θεωρείται ψευδές και ίσο με το μηδέν εάν, αλλά μόνο αν και οι δύο όροι είναι ψευδείς. Από εδώ:

0 + 0=0.

Επομένως, το άθροισμα των δύο δηλώσεων Α + Β θεωρείται αληθές εάν είναι αληθές, Ή Α, Ή Β, Ή οι δύο όροι μαζί. Έτσι, η λέξη OR σημειώνεται με +.

Υπενθυμίζοντας ότι οι δηλώσεις Α και Β μπορούν να είναι αληθείς ή ψευδείς και συνεπώς έχουν ένα μέτρο της αλήθειας 1 ή 0, τα αποτελέσματα των εξεταζόμενων πράξεων AND και OR μπορούν να συνοψιστούν στους πίνακες 1 και 2.

Boolean άλγεβρα. Μέρος 2. Βασικοί νόμοι και λειτουργίες
Boolean άλγεβρα. Μέρος 2. Βασικοί νόμοι και λειτουργίες

Η τρίτη λειτουργία, που χρησιμοποιείται ευρέως από την άλγεβρα Buhl, είναι η λειτουργία άρνησης - ΟΧΙ. Σας υπενθυμίζουμε ότι η στοιχειώδης άλγεβρα χρησιμοποιεί τις λειτουργίες ADD, D Αφαίρεση, Πολλαπλασιασμός με, Διαίρεση με, και κάποιες άλλες.

Για κάθε δήλωση Α, υπάρχει η άρνηση ΔΕΝ Α, την οποία θα υποδείξουμε με το σύμβολο / Α. Αυτό δεν πρέπει να αμφισβητείται.

Δίνουμε παραδείγματα: "Θα πάμε στο δάσος" Α, "Δεν θα πάμε στο δάσος" / Α.

Εάν η δήλωση A είναι αληθής, δηλαδή A = 1, τότε η άρνηση / A πρέπει να είναι ψευδής / A = 0. Και αντίστροφα, αν οποιαδήποτε δήλωση είναι ψευδής, τότε η άρνηση της είναι αληθής. Για παράδειγμα: "Ένα άλογο δεν τρώνε σανό" / A = 0, "Ένα άλογο δεν τρώνε σανό" (Α = 1). Αυτό μπορεί να εκφραστεί στον πίνακα 3.

Boolean άλγεβρα. Μέρος 2. Βασικοί νόμοι και λειτουργίες

Ο καθορισμός της έννοιας της δράσης της άρνησης, και υποθέτοντας ότι από τις δύο δηλώσεις Α και / Α είναι πάντοτε μία αληθινή, ακολουθούν δύο νέες φόρμες της Boolean άλγεβρας:

Α + (/ Α) = 1 και Α * (/ Α) = 0.

Υπάρχουν επίσης άλλοι τύποι που απλοποιούν τη λογική επεξεργασία των δηλώσεων. Για παράδειγμα, 1 + A = 1, δεδομένου ότι, σύμφωνα με τον ορισμό της προσθήκης, στην περίπτωση που ένας όρος είναι ίσος με την ενότητα, το άθροισμα είναι πάντα ίσο με την ενότητα. Το αποτέλεσμα που προκύπτει δεν εξαρτάται από το εάν A = 0 ή A = 1.

Κάθε μια από τις τρεις λογικές πράξεις που εξετάσαμε (AND, OR, NOT) έχει ορισμένες ιδιότητες που είναι κοντά στους κανόνες της στοιχειώδους άλγεβρας. Αν όλα αυτά είναι διατυπωμένα, τότε έχουμε 25 κανόνες Boolean άλγεβρας. Είναι αρκετά αρκετά για να λύσουν σχεδόν οποιοδήποτε λογικό πρόβλημα. Χωρίς αυτούς τους κανόνες, γίνεται αρκετά δύσκολο να λυθούν τα λογικά προβλήματα λόγω της προφανής πολυπλοκότητάς τους. Προσπαθώντας να βρούμε τη σωστή απάντηση χωρίς να χρησιμοποιήσουμε τους κανόνες σημαίνει να τους αντικαταστήσουμε με ευρηματικότητα και γενικό σκεπτικό. Οι κανόνες διευκολύνουν σε μεγάλο βαθμό αυτό το έργο και εξοικονομούν χρόνο.

Στο πλαίσιο του άρθρου, είναι αδύνατο να εξεταστούν όλοι αυτοί οι 25 κανόνες, αλλά όσοι επιθυμούν μπορούν πάντα να τις βρουν στη σχετική βιβλιογραφία.

Όπως ήδη αναφέρθηκε στο πρώτο άρθρο το 1938, ο νεαρός Αμερικανός επιστήμονας Claude Shannon στο άρθρο του "Συμβολική Ανάλυση Ρελέ και Κυκλώματα Μεταγωγής" χρησιμοποιεί για πρώτη φορά την Boolean άλγεβρα για προβλήματα τεχνολογίας αναμετάδοσης. Η ανακάλυψη του Shannon ήταν ότι συνειδητοποίησε ότι η μέθοδος σχεδιασμού μηχανημάτων ρελέ και ηλεκτρονικών υπολογιστών είναι στην πραγματικότητα ένας κλάδος της μαθηματικής λογικής.

Συχνά συμβαίνει. Για πολλά χρόνια, ο επιστήμονας εργάζεται για ένα πρόβλημα που φαίνεται εντελώς περιττό για τους συμπατριώτες του - απλώς διασκέδαση. Αλλά δεκαετίες και μερικές φορές αιώνες περνούν, και μια θεωρία που κανείς δεν χρειάζεται δεν αποκτά μόνο το δικαίωμα ύπαρξης, αλλά χωρίς αυτό περαιτέρω πρόοδος γίνεται αδιανόητη.

Τι βοήθησε τον Shannon για δεύτερη φορά να «ανακαλύψει» την Boolean άλγεβρα; Περίπτωση; Τίποτα τέτοιο.

Η αγάπη των μηχανημάτων ρελέ, που χτίστηκε με συμβατικούς διακόπτες και ρελέ, βοήθησε τον νεαρό επιστήμονα να συνδέσει μια ξεχασμένη θεωρία με τα καθήκοντα των αυτόματων τηλεφωνικών κέντρων, στα οποία εργάστηκε εκείνη την εποχή. Στη συνέχεια, ο Shannon εισήγαγε την ίδια ιδέα του «ναι ή όχι» σε διακριτά μηνύματα και έθεσε τα θεμέλια για ένα ολόκληρο τμήμα της κυβερνητικής - της θεωρίας των πληροφοριών.

Η άλγεβρα του Buhl ήταν πολύ κατάλληλη για την ανάλυση και τη σύνθεση κυκλωμάτων ρελέ. Ήταν αρκετό να δεχθούμε ως μια αληθινή δήλωση: "Υπάρχει ένα σήμα στο κύκλωμα", και ως ψευδής - "Δεν υπάρχει σήμα στο κύκλωμα", όπως εμφανίστηκε μια νέα άλγεβρα - η άλγεβρα σήματος, η άλγεβρα του κυκλώματος ρελέ.

Η νέα άλγεβρα ισχύει μόνο για την εξέταση των κυκλωμάτων ρελέ και μεταγωγής. Μετά από όλα, μόνο σε τέτοια συστήματα είναι η προϋπόθεση "υπάρχει σήμα" και "δεν υπάρχει σήμα" ικανοποιημένος. Όταν το σήμα μεταβάλλεται συνεχώς, αποκτώντας έναν αυθαίρετα μεγάλο αριθμό ενδιάμεσων συνθηκών (ένα τέτοιο σήμα ονομάζεται αναλογικό), δεν ισχύει αλγεβρα ρελέ. Αυτό πρέπει πάντα να θυμόμαστε. Αλλά μόνο η πλειονότητα των ηλεκτρονικών υπολογιστών και των κυβερνητικών μηχανών χρησιμοποιούν τη διακριτή αρχή επεξεργασίας σήματος, η οποία βασίζεται στα στοιχεία «ναι - όχι».

Η έκφραση "Επαφή κλειστή" έγινε αποδεκτή από τον Shannon ως αληθής (1) και η "Επαφή ανοιχτή" ως ψευδής (0). Η υπόλοιπη "άλγεβρα", συμπεριλαμβανομένων των λειτουργιών AND, OR και NOT και των 25 κανόνων, ο Shannon δανείστηκε από το Boole.

Η άλγεβρα του κυκλώματος ρελέ αποδείχθηκε απλούστερη από την Boolean άλγεβρα, αφού ασχολείται μόνο με στοιχεία του τύπου "ναι όχι". Επιπλέον, η νέα άλγεβρα είναι πιο οπτική.

Τα στοιχεία αυτής της άλγεβρας είναι οι επαφές που θα δηλώσουμε με τα γράμματα Α, Β, Γ ... Η επαφή είναι κλειστή - Α, η επαφή είναι ανοιχτή - / A (γράμμα με παύλα).

Η σημείωση, όπως βλέπετε, έχει ληφθεί εντελώς από την Boolean άλγεβρα. Μια ανοικτή επαφή είναι μια άρνηση μιας κλειστής επαφής. Η ίδια επαφή δεν μπορεί να είναι κλειστή και ανοιχτή.

Ας συμφωνήσουμε ότι αν σε οποιοδήποτε κύκλωμα σημαίνουν δύο επαφές με το ίδιο γράμμα, αυτό σημαίνει ότι πάντα παίρνουν τις ίδιες αξίες.

Σε οποιαδήποτε δεδομένη στιγμή, είναι είτε ανοιχτά ταυτόχρονα είτε και τα δύο κλειστά. Ο ευκολότερος τρόπος να φανταστεί κανείς ότι είναι μηχανικά συνδεδεμένοι μεταξύ τους έτσι ώστε και οι δύο να ανοίγουν ή να κλείνουν ταυτόχρονα.

Εάν σε κάποια αλυσίδα μια επαφή είναι μια άρνηση μιας άλλης επαφής, τότε οι σημασίες τους είναι πάντα αντίθετες. Για παράδειγμα, οι επαφές C και / C δεν μπορούν ποτέ να είναι ταυτόχρονα ανοικτές ή ταυτόχρονα κλειστές. Και στο διάγραμμα μπορούν να εκπροσωπούνται μηχανικά συνδεδεμένα: εάν ανοίξει ένα από αυτά, τότε κλείνει το άλλο.

Αρχίζουμε την εξοικείωσή μας με την άλγεβρα αναμετάδοσης αναλύοντας τα απλούστερα κυκλώματα που αντιστοιχούν στις λειτουργίες AND, OR και NOT.

Το προϊόν των δύο επαφών (λειτουργία AND) είναι το κύκλωμα που προκύπτει ως αποτέλεσμα της σειράς σύνδεσης τους: είναι κλειστό (ίσο με 1) μόνο όταν οι δύο επαφές είναι κλειστές (ίσες με 1).

Το άθροισμα των δύο επαφών (λειτουργία OR) θα είναι το κύκλωμα που σχηματίζεται όταν συνδέονται παράλληλα: είναι κλειστό (ίσο με 1) όταν τουλάχιστον μία από τις επαφές που σχηματίζουν το κύκλωμα είναι κλειστή (ίση με 1).

Το αντίθετο από αυτή την επαφή (λειτουργία NOT) είναι μια επαφή ίση με 0 (ανοιχτή) εάν η επαφή είναι 1 (κλειστή) και αντίστροφα.

Όπως και στην Boolean άλγεβρα, αν οι επαφές σημειώνονται με τα γράμματα Α και Β, τότε θα δηλώσουμε το προϊόν των δύο επαφών με A * B, το άθροισμα A + B και την επαφή που βρίσκεται απέναντι από A, από / Α. Τα παραπάνω εξηγούνται στα Σχήματα 1, 2 και 3.

Boolean άλγεβρα. Μέρος 2. Βασικοί νόμοι και λειτουργίες
Boolean άλγεβρα. Μέρος 2. Βασικοί νόμοι και λειτουργίες

Ισχύς πινάκων που αντιστοιχούν σε λειτουργίες AND, OR, και NOT. τώρα κανείς δεν πρέπει να αμφιβάλει.

Ας δούμε δύο παραδείγματα: 1 * 0 = 0 και 1 + 0 = 1.

Μπορεί να φανεί από το σχήμα ότι μια μόνιμα κλειστή επαφή που συνδέεται σε σειρά με μία μόνιμα ανοικτή επαφή είναι ισοδύναμη μίας μόνιμα ανοιχτής επαφής (1 * 0 = 0). Μια μόνιμα κλειστή επαφή που είναι συνδεδεμένη παράλληλα με μόνιμα ανοικτή επαφή ισοδυναμεί με μόνιμα κλειστή επαφή.

Αφού εξοικειωθείτε με την αριθμητική των κυκλωμάτων επαφής, μπορείτε να περιγράψετε οποιοδήποτε κύκλωμα ρελέ με έναν τύπο χρησιμοποιώντας τις αποδεκτές συμβάσεις. Στις κυβερνητικές μορφές, οι τύποι αυτοί ονομάζονται δομικές.

Εάν ο δομικός τύπος οποιουδήποτε κυκλώματος ρελέ είναι 1, τότε μπορεί να περάσει ένα σήμα - το κύκλωμα είναι κλειστό. Αντίθετα, εάν ο δομικός τύπος του κυκλώματος είναι 0, το σήμα δεν θα περάσει από αυτό - το κύκλωμα σπάσει.Συμπέρασμα: Τα δύο κυκλώματα ρελέ είναι ισοδύναμα μεταξύ τους όταν οι δομικές τους φόρμουλες είναι ίσες.

Στη συνέχεια του άρθρου θα εξετάσουμε παραδείγματα κυκλωμάτων επαφής, τυπικά κυκλώματα επαφής και ισοδύναμα, καθώς και σύνταξη διαγραμμάτων σύμφωνα με τους δομικούς τύπους. Θεωρούμε επίσης τα κύρια κυκλώματα λογικής που εκτελούν τις λειτουργίες της αλγεβρας Boolean.

Συνέχεια του άρθρου: Boolean άλγεβρα. Μέρος 3. Σχέδια επικοινωνίας

Μπόρις Αλαντίσκιν

Δείτε επίσης στο i.electricianexp.com:

  • Boolean άλγεβρα. Μέρος 1. Ένα κομμάτι της ιστορίας
  • Boolean άλγεβρα. Μέρος 3. Σχέδια επικοινωνίας
  • Λογικές μάρκες. Μέρος 2 - Πύλες
  • LD Ladder Language και η εφαρμογή της
  • Λογικές μάρκες. Μέρος 1

  •  
     
    Σχόλια:

    # 1 έγραψε: Alex | [παραθέτω]

     
     

    Σας ευχαριστώ

    Μόνο ένα σημείο, παράγραφος:

    "Όπως και στην Boolean άλγεβρα, αν οι επαφές σημειώνονται με τα γράμματα Α και Β, τότε θα δηλώσουμε το προϊόν των δύο επαφών με A * B, το άθροισμα A + B και την επαφή που βρίσκεται απέναντι από A, από / Α. Τα παραπάνω εξηγούνται στα Σχήματα 1, 2 και 3 ..."

    Πού βρίσκεται το σχήμα 3;