Boolean άλγεβρα. Μέρος 1. Ένα κομμάτι της ιστορίας

Στο σχολείο, μελετήσαμε όλοι την άλγεβρα, αλλά δεν μιλούσαν για την αλγεβρα Boolean εκεί. Ποια είναι η διαφορά μεταξύ της άλγεβρας Boolean και της σχολικής άλγεβρας, το ιστορικό της εμφάνισής της, τα προβλήματα και οι εφαρμογές που περιγράφονται σε αυτό το άρθρο.

Το κύκλωμα που επιτρέπει στους δύο διακόπτες να ανάψουν το φως στο διάδρομο κατά την είσοδο στο διάδρομο και να το απενεργοποιήσει όταν εισέρχεται στο δωμάτιο είναι γνωστό εδώ και πολύ καιρό (βλ. Κύκλωμα ελέγχου φωτισμού διαδρόμου) Εμφανίζεται στο σχήμα 1.

Αριθμός εργασίας 1. Πιο περίπλοκο. Δημιουργήστε ένα διάγραμμα που σας επιτρέπει να ενεργοποιήσετε και να απενεργοποιήσετε το φως στο δωμάτιό σας με οποιονδήποτε από τους 3 διαφορετικούς διακόπτες. Οι διακόπτες βρίσκονται στην είσοδο του δωματίου, πάνω από το κρεβάτι και στο γραφείο.

Αριθμός εργασίας 2.

Σε μια αθλητική επιτροπή, όπως μια επιτροπή εργοστασίων, συγκεντρώθηκαν 5 δικαστές.

Κάθε ένας από αυτούς πρέπει να ψηφίσει για διαφορετικές αποφάσεις. Η απόφαση εγκρίνεται με πλειοψηφία των ψήφων, αλλά μόνο υπό την προϋπόθεση ότι ο πρόεδρος της επιτροπής θα την ψηφίσει.

Οι δικαστές ψηφίζουν πατώντας το κουμπί που κλείνει το διακόπτη που βρίσκεται κάτω από το τραπέζι στο οποίο κάθεται. Κλείνοντας τον διακόπτη, ψηφίζουν υπέρ, αποσυνδέοντας τα μειονεκτήματα. Σχεδιάστε ένα απλό διάγραμμα που σας επιτρέπει να δείτε αυτόματα τα αποτελέσματα των ψηφοφοριών. Στην απλούστερη περίπτωση, απλά με τη βοήθεια ενός λαμπτήρα - αναμμένο - η απόφαση έγινε, δεν ανάβει - όχι.

Αριθμός εργασίας 3. Στην πράξη, αυτό είναι απίθανο, αλλά είναι πολύ κατάλληλο ένα πολύπλοκο εκπαιδευτικό έργο.

Σε ένα μεγάλο εξαγωνικό δωμάτιο, ένας διακόπτης τοποθετείται σε κάθε τοίχο. Δημιουργήστε ένα κύκλωμα έτσι ώστε ανά πάσα στιγμή να μπορείτε να ενεργοποιήσετε ή να απενεργοποιήσετε το φως στο δωμάτιο στρέφοντας ένα διακόπτη (οποιοδήποτε).

Αφού περάσετε ανεπιτυχώς καθήκοντα για τρεις έως τέσσερις ημέρες, τα αφήστε προσωρινά στην άκρη. Και γελάστε Boolean άλγεβρα. Είναι Boolean άλγεβρα, ή, όπως αποκαλείται επίσης, Boolean άλγεβρα, άλγεβρα κυκλώματος ρελέ, θα σας βοηθήσει να λύσετε τα προβλήματά σας.

Τι είναι Boolean άλγεβρα;

Παραδόξως, παρά το γεγονός ότι για πέντε χρόνια σπουδάζουν την άλγεβρα στο σχολείο, πολλοί μαθητές και αργότερα ενήλικες δεν θα μπορέσουν να απαντήσουν στην ερώτηση, τι είναι η άλγεβρα; Η άλγεβρα είναι μια επιστήμη που μελετά τα σύνολα ορισμένων στοιχείων και τις ενέργειες πάνω τους.

Σε ένα σχολικό μάθημα στην άλγεβρα, τέτοια στοιχεία είναι αριθμοί. Οι αριθμοί μπορούν να σημαίνονται όχι με αριθμούς, αλλά με γράμματα, όλοι είναι εξοικειωμένοι με αυτό. Στα πρώτα μαθήματα της άλγεβρας, αυτό πάντα δυσκολεύει πολλούς μαθητές. Θυμηθείτε πόσο δύσκολο ήταν στην αρχή να συνηθίσετε να προσθέτετε γράμματα αντί αριθμών, λύνοντας εξισώσεις που δεν λένε τίποτα.

Πιθανότατα, ο καθένας από εμάς τότε θέσαμε την ερώτηση: "Γιατί πρέπει να εισαγάγουμε γράμματα αντί αριθμών και είναι απαραίτητο καθόλου;" Και μόνο αργότερα θα δείτε ποια πλεονεκτήματα προσφέρει η άλγεβρα όταν λύνουν τα προβλήματα σε σχέση με την αριθμητική.

Η άλγεβρα χρησιμοποιείται σε πολλές ακριβείς επιστήμες. Αυτό είναι φυσική, μηχανική, sopromat, ηλεκτρική ενέργεια. Ο νόμος του Ohm δεν υπάρχει τίποτα περισσότερο από μια αλγεβρική εξίσωση: αρκεί να αντικαταστήσουμε τις αριθμητικές τιμές τους αντί των γραμμάτων για να μάθουμε τι ρεύμα θα ρεύσει στο φορτίο, ή ποια αντίσταση έχει ένα τμήμα του κυκλώματος.

Έτσι γνωρίσατε την άλγεβρα αριθμών ή με στοιχειώδη άλγεβρα. Το κύριο και σχεδόν μοναδικό καθήκον είναι να βρούμε μια απάντηση στο ερώτημα: "Τι είναι το Χ ίσο με; Πόσο; "

Στο γυμνάσιο, μελετούν τις αρχές της άλγεβρας των φορέων. Αυτή η άλγεβρα είναι θεμελιωδώς διαφορετική από τη στοιχειώδη άλγεβρα. Έχει διαφορετική φύση από το υπό μελέτη σύνολο και άλλους κανόνες δράσης. Η επίλυση της εξισώσεως του φορέα, παίρνουμε στην απάντηση ένα διάνυσμα που δεν είναι ένας συνηθισμένος αριθμός που απαντά στην ερώτηση "Πόσο;"

Οι τύποι της άλγεβρας φορέα είναι από πολλές απόψεις διαφορετικοί από τους τύπους της στοιχειώδους άλγεβρας. Για παράδειγμα, στη στοιχειώδη άλγεβρα και στην άλγεβρα φορέα υπάρχει μια λειτουργία προσθήκης. Αλλά γίνεται με εντελώς διαφορετικούς τρόπους.Η προσθήκη αριθμών δεν είναι καθόλου ίδια με την προσθήκη διανυσμάτων.

Υπάρχουν και άλλες άλγεβρες: γραμμική άλγεβρα, άλγεβρα δομών, άλγεβρα δαχτυλιδιών, άλγεβρα λογικής ή, ποιο είναι το ίδιο πράγμα, Boolean άλγεβρα. Πιθανότατα δεν ακούσατε το όνομα στα σχολικά μαθήματα. Τζορτζ Μπούλε - αλλά όλοι γνωρίζουν το όνομα μιας από τις ταλαντούχες κόρες του Ethel Voinich (1864 - 1960). Έγραψε το μυθιστόρημα "Gadfly", το οποίο μιλά για τον αγώνα για τα δικαιώματα των Ιταλών ανθρακωρύχων.

Ο Γιώργος Μπουλ γεννήθηκε στην Αγγλία στις 2 Νοεμβρίου 1815. Όλη τη ζωή του εργάστηκε ως δάσκαλος των μαθηματικών και της φυσικής στο σχολείο. Από τα απομνημονεύματα των μαθητών του είναι γνωστό ποια μεγάλη σημασία έχει η Βουλ, που συνδέεται με την ανάπτυξη των δημιουργικών ικανοτήτων των μαθητών. Παρουσιάζοντας νέο υλικό, προσπάθησε να εξασφαλίσει ότι οι ίδιοι οι μαθητές του "ανακαλύπτουν" ορισμένους τύπους και νόμους.

Μιλώντας στους μαθητές σχετικά με τις δυσκολίες που αντιμετώπισαν αναπόφευκτα οι επιστήμονες στην αναζήτηση της αλήθειας, ο δάσκαλος ήθελε να επαναλάβει μια ανατολική σοφία: ακόμη και το περσικό θρόνο δεν μπορεί να φέρει τόση ευχαρίστηση σε ένα άτομο ως τη μικρότερη επιστημονική ανακάλυψη. Ο Buhl δεν έχασε ποτέ την ελπίδα ότι κάποια μέρα οι μαθητές του θα κάνουν μια πραγματική ανακάλυψη.

Το φάσμα των επιστημονικών συμφερόντων του Buhl ήταν πολύ ευρύ: ενδιαφέρεται εξίσου για τα μαθηματικά και τη λογική - την επιστήμη των νόμων και των μορφών σκέψης. Εκείνες τις ημέρες, η λογική θεωρήθηκε επιστήμη των ανθρωπιστικών επιστημών και πολλοί που ήξεραν ότι ο Γιώργος Boole έκπληκταν το πώς οι ακριβείς μέθοδοι γνώσης που είναι εγγενείς στα μαθηματικά και οι καθαρά περιγραφικές μέθοδοι λογικής θα μπορούσαν να συνυπάρχουν σε ένα άτομο.

Αλλά ο επιστήμονας ήθελε να κάνει την επιστήμη των νόμων και των μορφών σκέψης τόσο αυστηρή όσο και οι φυσικές επιστήμες, όπως τα μαθηματικά και η φυσική. Για αυτό, ο Boule άρχισε να υποδηλώνει όχι αριθμούς ως γράμματα, όπως συμβαίνει με τη συνήθη άλγεβρα, αλλά δηλώσεις, και έδειξε ότι τέτοιες εξισώσεις, πολύ παρόμοιες με αλγεβρικές, μπορούν να λύσουν ερωτήματα σχετικά με την αλήθεια και την ψευδαίσθηση των δηλώσεων του ανθρώπου. Έτσι άρχισε η Boolean άλγεβρα.

Αλλά πολύ καιρό πριν ο Γερμανοί μαθηματικός και φιλόσοφος Gottfried Leibniz (1646-1716), ο Γκερς Μπουλ, πρώτος ήρθε με την ιδέα της δημιουργίας μιας επιστήμης που θα ορίζει όλες τις έννοιες της συνηθισμένης ομιλίας με σύμβολα και θα δημιουργεί κάποια νέα άλγεβρα για το συνδυασμό αυτών των συμβόλων.

Μετά τη δημιουργία μιας τέτοιας επιστήμης, σύμφωνα με τον Leibniz, οι επιστήμονες και οι φιλόσοφοι θα σταματήσουν να διαμαρτύρονται και να φωνάζουν ο ένας στον άλλο, βρίσκοντας την αλήθεια, αλλά θα πάρουν ένα μολύβι και θα πουν ήρεμα: "Ας υπολογίσουμε!"

Σήμερα, η άλγεβρα της λογικής έχει γίνει ένα σημαντικό μέρος των μαθηματικών. Ένα από τα καθήκοντά του είναι να λύσει όλα τα είδη εξισώσεων, οι αριθμητικές σχέσεις των οποίων αντικαθίστανται από αλφαβητικές. Καθένας από εσάς, κατά πάσα πιθανότητα, κατά τη διάρκεια της ζωής σας θυμήθηκε πώς να λύσει εξισώσεις του δεύτερου και του τρίτου βαθμού με συντελεστές γράμματος. Έτσι, Boole στη νέα του άλγεβρα χρησιμοποίησε όλους αυτούς τους τύπους και τους κανόνες.

Αυτό που είναι νέο στη Boolean άλγεβρα είναι ότι τα στοιχεία του σετ που μελετώνται σε αυτό δεν είναι αριθμοί, αλλά δηλώσεις. Εάν, κατά την επίλυση συνήθων αλγεβρικών εξισώσεων, καθορίζεται ποιος αριθμός ισούται με άγνωστο Χ, η σχολική άλγεβρα αναζητά την απάντηση στην ερώτηση: "Πόσο;"

Η άλγεβρα της λογικής αναζητά την απάντηση στην ερώτηση: "Είναι αυτή ή η δήλωση που δηλώνεται με το γράμμα Χ αλήθεια;"

Η σημασία και το περιεχόμενο της δήλωσης δεν παίζουν κανένα ρόλο εδώ. Κάθε δήλωση μπορεί να είναι αληθής ή ψευδής. Δεν μπορεί να είναι μισό αληθές και μισό ψεύτικο. Για παράδειγμα, μπορούμε να θυμηθούμε να ρίχνουμε πολλά με ένα νόμισμα.

Μόνο δύο καταστάσεις νομισμάτων θεωρούνται εκεί - κεφάλια ή ουρές. Με τη συμφωνία των μερών, ο αετός είναι ΝΑΙ, και οι ουρές δεν είναι ΟΧΙ. Δεν λαμβάνονται υπόψη άλλα ενδιάμεσα σημεία στην θεωρία των πιθανοτήτων, αν και είναι δυνατά. Ένα ανατρεπόμενο νόμισμα μπορεί να πέσει σε μια άκρη, να κυλήσει το πάτωμα στα πόδια μιας καρέκλας ή τραπέζι και να παραμείνει σε όρθια θέση, ή ακόμα και να πέσει σε ένα μεγάλο κενό στο πάτωμα. (Κατ 'αναλογία με τα ηλεκτρικά κυκλώματα, οι δύο τελευταίες καταστάσεις μπορούν να θεωρηθούν ως δυσλειτουργία με τη μορφή καύσης επαφής).Αλλά εκείνες τις μέρες, η αλγεβρα Boolean, δυστυχώς, δεν χρησιμοποιήθηκε ευρέως.

Ο Claude Shannon "ανακάλυψε" ξανά την άλγεβρα Buhl. Το 1938, ενώ εξακολουθεί να είναι φοιτητής στο Ινστιτούτο Τεχνολογίας της Μασαχουσέτης και Αμερική, ο νέος Claude απέδειξε ότι η Boolean άλγεβρα είναι απόλυτα κατάλληλη για την ανάλυση και τη σύνθεση κυκλωμάτων ρελέ και διακοπτών.

Με τη βοήθεια της Boolean άλγεβρας, είναι πολύ εύκολο να δημιουργηθεί ένα ηλεκτρικό κύκλωμα μιας μηχανής που λειτουργεί με ρελέ.Γι 'αυτό, θα πρέπει να ξέρετε ακριβώς τι πρέπει να κάνει η μηχανή, δηλαδή, πρέπει να έχετε έναν αλγόριθμο για τη λειτουργία της. Έτσι, το θεμέλιο τέθηκε για τη θεωρία των ψηφιακών μηχανών που λειτουργούσαν με την αρχή ΝΑΙ ή ΟΧΙ.

Τέτοιες, εν συντομία, είναι η ιστορία της Boolean άλγεβρας. Στα επόμενα άρθρα θα εξετάσουμε τους βασικούς νόμους, παραδείγματα κυκλωμάτων επαφής που εφαρμόζουν αυτούς τους νόμους. Εξετάστε τη λύση των καθηκόντων που δόθηκαν στην αρχή του άρθρου.

Συνέχεια του άρθρου: Boolean άλγεβρα. Μέρος 2. Βασικοί νόμοι και λειτουργίες

Μπόρις Αλαντίσκιν