Boolesche Algebra. Teil 1. Ein bisschen Geschichte

In der Schule haben wir alle Algebra studiert, nur haben sie nicht über Boolesche Algebra gesprochen. Was ist der Unterschied zwischen Boolescher Algebra und Schulalgebra, die Geschichte ihres Auftretens, Probleme und Anwendungen werden in diesem Artikel beschrieben.

Die Schaltung, mit der zwei Schalter das Licht im Korridor am Eingang des Korridors einschalten und beim Betreten des Raums ausschalten können, ist seit langem bekannt (siehe. Steuerkreis für die Korridorbeleuchtung) Es ist in Abbildung 1 dargestellt.

Aufgabe Nummer 1. Komplizierter. Erstellen Sie ein Diagramm, mit dem Sie das Licht in Ihrem Raum mit einem der drei verschiedenen Schalter ein- und ausschalten können. Die Schalter befinden sich am Eingang des Zimmers, über dem Bett und am Schreibtisch.

Aufgabe Nummer 2.

In einem Sportkomitee wie einem Fabrikkomitee versammelten sich 5 Richter.

Jeder von ihnen muss für unterschiedliche Entscheidungen stimmen. Der Beschluss wird mit Stimmenmehrheit gefasst, jedoch nur unter der zusätzlichen Bedingung, dass der Vorsitzende des Ausschusses dafür stimmt.

Die Richter stimmen ab, indem sie den Knopf drücken, der den Schalter unter dem Tisch schließt, an dem sie sitzen. Wenn sie den Schalter schließen, stimmen sie dafür und trennen die Nachteile. Zeichnen Sie ein einfaches Diagramm, mit dem Sie die Abstimmungsergebnisse automatisch anzeigen können. Im einfachsten Fall, einfach mit Hilfe einer Glühbirne - leuchtet - wird die Entscheidung getroffen, leuchtet nicht - nein.

Aufgabe Nummer 3. In der Praxis ist dies unwahrscheinlich, aber als komplexe Bildungsaufgabe durchaus geeignet.

In einem großen sechseckigen Raum ist an jeder Wand ein Schalter installiert. Bauen Sie einen Stromkreis auf, damit Sie das Licht im Raum jederzeit durch Drehen eines (beliebigen) Schalters ein- oder ausschalten können.

Nachdem Sie drei bis vier Tage lang erfolglos über Aufgaben gesessen haben, legen Sie sie vorübergehend beiseite. Und beschäftigt werden Boolesche Algebra. Es ist Boolesche Algebra oder, wie es auch genannt wird, Boolesche Algebra, Relaisschaltungsalgebra, wird Ihnen helfen, Ihre Probleme zu lösen

Was ist Boolesche Algebra?

Seltsamerweise werden viele Schüler und spätere Erwachsene trotz der Tatsache, dass sie seit fünf Jahren Algebra in der Schule studieren, die Frage, was Algebra ist, nicht beantworten können. Algebra ist eine Wissenschaft, die die Mengen einiger Elemente und die darauf einwirkenden Wirkungen untersucht.

In einem Schulkurs in Algebra sind solche Elemente Zahlen. Zahlen können nicht durch Zahlen, sondern durch Buchstaben bezeichnet werden, das ist jedem bekannt. In den ersten Lektionen der Algebra ist dies für viele Schüler immer schwierig. Denken Sie daran, wie schwierig es zunächst war, sich daran zu gewöhnen, Buchstaben anstelle von Zahlen zu falten und Gleichungen zu lösen, die nichts sagten.

Wahrscheinlich hat sich dann jeder von uns die Frage gestellt: "Warum müssen wir Buchstaben anstelle von Zahlen eingeben und ist das überhaupt notwendig?" Und erst später haben Sie gesehen, welche Vorteile die Algebra bei der Lösung von Problemen im Vergleich zur Arithmetik bietet.

Algebra wird in vielen exakten Wissenschaften verwendet. Das ist Physik, Mechanik, Soprom, Elektrizität. Ohmsches Gesetz Es gibt nichts weiter als eine algebraische Gleichung: Es reicht aus, ihre numerischen Werte anstelle von Buchstaben zu verwenden, um herauszufinden, welcher Strom in der Last fließt oder welchen Widerstand ein Abschnitt der Schaltung hat.

Sie haben also die Algebra der Zahlen oder die Elementaralgebra kennengelernt. Die wichtigste und fast einzigartige Aufgabe besteht darin, eine Antwort auf die Frage zu erhalten: „Was ist X gleich? Wie viel? "

In der High School studieren sie die Anfänge der Vektoralgebra. Diese Algebra unterscheidet sich grundlegend von der Elementaralgebra. Es hat eine andere Natur des untersuchten Satzes und anderer Handlungsregeln. Wenn wir die Vektorgleichung lösen, erhalten wir in der Antwort einen Vektor, der keine gewöhnliche Zahl ist und die Frage "Wie viel?" Beantwortet.

Die Formeln der Vektoralgebra unterscheiden sich in vielerlei Hinsicht von den Formeln der Elementaralgebra. Beispielsweise gibt es in der Elementaralgebra und in der Vektoralgebra eine Additionsoperation. Aber es wird auf ganz andere Weise durchgeführt.Das Hinzufügen von Zahlen ist überhaupt nicht dasselbe wie das Hinzufügen von Vektoren.

Es gibt andere Algebren: lineare Algebra, Algebra von Strukturen, Algebra von Ringen, Algebra von Logik oder, was dasselbe ist, Boolesche Algebra. Sie haben den Namen im Schulunterricht wahrscheinlich nicht gehört. George Boole - aber jeder kennt den Namen einer seiner talentierten Töchter Ethel Voinich (1864 - 1960). Sie schrieb den Roman "Gadfly", der über den Kampf für die Rechte italienischer Karbonarier spricht.

George Bull wurde am 2. November 1815 in England geboren. Sein ganzes Leben lang arbeitete er als Lehrer für Mathematik und Physik in der Schule. Aus den Memoiren seiner Schüler ist bekannt, welche große Bedeutung Bul der Entwicklung der kreativen Fähigkeiten der Schüler beimisst. Mit der Präsentation neuen Materials wollte er sicherstellen, dass seine Schüler selbst bestimmte Formeln und Gesetze „wiederentdeckten“.

Der Lehrer erzählte den Schülern von den Schwierigkeiten, mit denen Wissenschaftler bei der Suche nach der Wahrheit unweigerlich konfrontiert waren, und wiederholte gern eine östliche Weisheit: Selbst der persische Thron kann einem Menschen nicht so viel Freude bereiten wie die kleinste wissenschaftliche Entdeckung. Buhl verlor nie die Hoffnung, dass seine Schüler eines Tages eine echte Entdeckung machen würden.

Das Spektrum der wissenschaftlichen Interessen von Buhl war sehr breit: Er interessierte sich gleichermaßen für Mathematik und Logik - die Wissenschaft der Gesetze und Denkformen. In jenen Tagen galt Logik als geisteswissenschaftliche Wissenschaft, und viele, die George Boole kannten, waren erstaunt darüber, wie genau die der Mathematik innewohnenden Erkenntnismethoden und die rein beschreibenden Methoden der Logik in einer Person koexistieren konnten.

Aber der Wissenschaftler wollte die Wissenschaft der Gesetze und Denkformen so streng machen wie alle Naturwissenschaften, etwa Mathematik und Physik. Aus diesem Grund begann Boule, Zahlen nicht wie in der gewöhnlichen Algebra als Buchstaben zu bezeichnen, sondern Aussagen, und zeigte, dass solche Gleichungen, die den algebraischen sehr ähnlich sind, Fragen nach der Wahrheit und Falschheit von Aussagen des Menschen lösen können. So entstand die Boolesche Algebra.

Doch lange vor George Buhl kam der deutsche Mathematiker und Philosoph Gottfried Leibniz (1646-1716) auf die Idee, eine Wissenschaft zu schaffen, die alle Konzepte der gewöhnlichen Umgangssprache mit Symbolen bezeichnet und eine neue Algebra für die Kombination dieser Symbole etabliert.

Nach der Schaffung einer solchen Wissenschaft werden Wissenschaftler und Philosophen laut Leibniz aufhören, sich zu streiten und anzuschreien, um die Wahrheit herauszufinden, aber sie werden einen Bleistift nehmen und ruhig sagen: „Lass uns rechnen!“

Heute ist die Algebra der Logik ein wichtiger Bestandteil der Mathematik geworden. Eine seiner Aufgaben ist es, alle Arten von Gleichungen zu lösen, deren numerische Verhältnisse durch alphabetische ersetzt werden. Wahrscheinlich hat sich jeder von Ihnen im Laufe seines Lebens daran erinnert, wie man Gleichungen zweiten und dritten Grades mit Buchstabenkoeffizienten löst. Also verwendete Boole in seiner neuen Algebra all diese Formeln und Regeln.

Neu in der Booleschen Algebra ist, dass die darin untersuchten Elemente der Menge keine Zahlen, sondern Aussagen sind. Wenn beim Lösen gewöhnlicher algebraischer Gleichungen festgestellt wird, welche Zahl gleich unbekanntem X ist, sucht die Schulalgebra nach der Antwort auf die Frage: „Wie viel?“

Die Algebra der Logik sucht nach der Antwort auf die Frage: "Ist diese oder jene Aussage, die mit dem Buchstaben X bezeichnet wird, wahr?"

Die Bedeutung und der Inhalt der Aussage spielen hier keine Rolle. Jede Aussage kann nur wahr oder falsch sein. Es kann nicht halb wahr und halb falsch sein. Als Beispiel können wir uns daran erinnern, Lose mit einer Münze geworfen zu haben.

Dort werden nur zwei Münzzustände berücksichtigt - Kopf oder Zahl. Nach Vereinbarung der Parteien ist der Adler JA und die Schwänze NEIN. Andere Zwischenpunkte werden in der Wahrscheinlichkeitstheorie nicht berücksichtigt, obwohl sie möglich sind. Eine umgedrehte Münze kann auf eine Kante fallen, den Boden bis zu den Beinen eines Stuhls oder Tisches hinunterrollen und in aufrechter Position bleiben oder sogar in eine große Lücke im Boden fallen. (In Analogie zu Stromkreisen können die letzten beiden Situationen als Fehlfunktion in Form eines verbrannten Kontakts angesehen werden.)Aber in jenen Tagen war die Boolesche Algebra leider nicht weit verbreitet.

Claude Shannon "entdeckte" die Buhl-Algebra erneut. Als Student am Massachusetts Institute of Technology and America bewies der junge Claude 1938, dass die Boolesche Algebra vollständig für die Analyse und Synthese von Relais- und Schaltkreisen geeignet ist.

Mit Hilfe der Booleschen Algebra ist es sehr einfach, einen Stromkreis eines Automaten herzustellen, der an einem Relais arbeitet.Es stellt sich heraus, dass Sie nur genau wissen müssen, was die Maschine tun soll, dh Sie müssen einen Algorithmus für ihren Betrieb haben. Damit wurde der Grundstein für die Theorie digitaler Maschinen gelegt, die nach dem Prinzip JA oder NEIN arbeiten.

Dies ist kurz gesagt die Geschichte der Booleschen Algebra. In den folgenden Artikeln werden wir die Grundgesetze betrachten, Beispiele für Kontaktschaltungen, die diese Gesetze implementieren. Betrachten Sie die Lösung der Aufgaben, die am Anfang des Artikels angegeben wurden.

Fortsetzung des Artikels: Boolesche Algebra. Teil 2. Grundgesetze und Funktionen

Boris Aladyshkin